Моделирование распределения потенциала в МДП-структуре

Способыточного решения задачи (1) выдерживающие обобщения на случай переменных коэффициенто и областей скриволинейной границей, например, метод исключения Гаусса , при сколько-нибудь больших и становится неудобным и не применяются.

Решение U(x,y) Задачи (2) можно понимать как не зависящую от времени температуру в точке (x,y) пластинки, находящейся в теплолвом равновесии.

Функция j(x,y) и Y(s) означаютв таком случае соответственно распределения источников тела и температуру на границе.

Рассмотрим вспомогательную нестационарную задачу о распределении тепла: dV = d 2 V + d 2 V - j(x,y) dt dx 2 dy 2 V|г = Y(s) (3) V(x,y,0) = Y 0 (x,y) где j и Y те же что и в задаче (2), а Y 0 (x,y) - произвольная.

Поскольку источники теплп j(x,y) и температура на границе Y(s) не зависит от времени, то естественно, что и решение V(x,y,t) с течением времени будет менятся всё медленнее, распределение температур V(x,y,t) в пределе при t OO превращается в равновесное распределение тмператур U(x,y), описываемое задачей (2). Поэтому вместо стационарной задачи (2) можно решать нестационарную задачу (3) до того времени t, пока её решение перестаёт менятся в пределах интересующей нас точности. В этом состоит идеал решения стационарных задач методом установления. В соответствии с этим вместо задачи (2) решается задача (3), а вместо разностной схемы (1) для задачи (2) рассмотрим и составим три различные разностные схемы для задачи (3). Именно, рассмотрим простейшую явную разностною схему: U p+1 mn - U p mn = L xx U p mn + L yy U p mn - j(x m ,y n ) t U p+1 mn |г = Y(s mn ) (4) U 0 mn = Y 0 x m ,y n ) Рассмотрим так же простейшую неявную разностную схему: U p+1 mn - U p mn = L xx U p+1 mn + L yy U p+1 mn - j(x m ,y n ) t U p+1 mn |г = Y(s mn ) (5) U 0 mn = Y 0 (x m ,y n ) и исследуем схему применения направлений U’ mn - U p mn = 1 [ L xx U’ mn + L yy U p mn - j(x m ,y n )] t 2 U p+1 mn - U’ mn = 1 [ L xx U’ mn + L yy U p+1 mn - j(x m ,y n )] t 2 (6) U p+1 mn |г = U’ mn |г = Y(s mn ) U 0 mn = Y 0 (x m ,y n ) Будем считать, что Y 0 (x m ,y n ) по уже известному U p ={U p mn }для схемы (4) оссуществляется по уже явным формулам.

Вычисление U p+1 = {U p+1 mn }по схеме (5) требует решения задачи : L xx U p+1 mn + L yy U p+1 mn - U p+1 mn = j(x m ,y n ) - U p mn t t (7) U p+1 mn |г = Y(s mn ) Вычисление U p+1 = {U p+1 mn }по уже известным U p = {U p mn }по схеме (6) осуществляется прогонками в направлении оси OX для вычисления решений {U’ mn }одномерных задач при каждом фиксированом n, а затем прогонками в направлнии оси OY для вычисления решений {U p+1 mn }одномерных задач при каждом фиксированом m. Для каждой из двух разностных схем (4) и (6) рассмотрим разность для счёта погрешностеи вычислений: e p mn = U p mn - U mn между сеточной функцией U p = {U p mn }и точным решением U = {U mn }задачи (1). Решение {U mn }задачи (1) удовлетворяет уравнениям: U p mn - U mn = L xx U mn - j(x m ,y n ) t U mn |г = Y(s mn ) U 0 mn = U mn Вычитая эти равенства из (4) почленно, получим для погрешности e p mn следующую разностную задачу: e p+1 mn - e p mn = L xx e p mn + L yy e p mn t e p+1 mn |г = 0 (9) e 0 mn = Y 0 (x m ,y n ) - U mn Сеточная функция e p mn при каждом p (p=0,1,...) обращается в ноль на границе Г. Метод переменных направлений Рассмотрим двумерное уравнение теплопроводности: dU = LU + f(x,t) , x G 02 , t [0,t 0 ] dt U|г = m(x,t) (1) U(x,0) = U 0 (x)

LU = LU = (L 1 +L 2 )U , где L a U = d 2 U , a=1,2 dx 2 Область G 0 a =G 0 = {0 a a , a=1,2}-прямоугольник со сторонами l 1 и l 2 , Г - граница G 0 = G 0 + Г. В G 0 построили равномерную по xa сетку v h с шагами h 1 = l 1 /N 1 , h 2 = l2/N 2 . Пусть n h - граница сеточной области w h , содержащая все узлы на сторонах прямоугольника, кроме его вершин, v h = w h + n h . Оператор L a заменим разностным оператором L a : L a y = yx a x a , L = L 1 + L 2 В случае одномерного уравнения теплопроводности неявная схема на каждом слое приводит к разностной краевой задаче вида: A i y i-1 - C i y i + B i y i+1 = -F , i=1,...,N-1 y 0 =m 1 (2) y n =m N A i > 0, B i > 0, C i > A i + B i которая решается методом прогонки.

Рассмотрим теперь нашу двимерную задачу в прямоугольнике. Сетку v h можно представить как совокупность узлов, расположенных на строках i 2 =0,1,2,...,N 2 , или как совокупность узлов расположенных на столбцах i 1 =1,2,...,N 1 . Всего имеется N 1 +1 столбцов и N 2 +1 строк. Число узлов в каждой строке равно N 1 +1, а в каждом столбце N 2 +1 - узлов. Если на каждой строке (или столбце) решать задачу вида (2) методом прогонки при фиксированом i 2 (или i 1 ), то для отыскания решения на всех строках (или столбцах), т.е. во всех узлах сетки, понадобится О(N 1 N 2 ) арифметических действий.

Основная идея большинства экономичных методов и состоит в сведении перехода со слоя на слой к последовательному решению одномерных задач вида (2) вдоль строк и вдоль столбцов. Наряду с основными значениями искомой сеточной функции y(x,t), т.е. с y = y n и y` = y n+1 вводится промежуточное значение y = y n+½ , которое можно формально рассматривать как значение при t = t n+½ = t n+½ . Переход от слоя n на слой n+1 совершается в два этапа с шагами 0.5t . y n+½ - y n = L 1 y n+½ + L 2 y n + j n (3) 0.5t y n+1 - y n+½ = L 1 y n+½ + L 2 y n+1 + j n (4) 0.5t Эти уравнения пишутся во всех внутренних узлах x = x i сетки v h и для всех t=t h > 0. Первая схема неявная по направлению х 1 и явная по х 2 , вторая схема явная по х 1 и неявная по х 2 . К уравнениям (3),(4) надо добавить начальные условия:

y(x,0) = U 0 (x) , x v h (5) и разностно краевые условия, например, в виде: y n+1 = m n+1 при i 1 =0, i 2 =N 2 (6) y n+½ = m при i 1 =0, i 2 =N 1 (7) где m = 1 (m n+1 + m n ) - t L 2 (m n+1 - m n ) (8) 2 4 Т.о. , разностная краевая задача (3)-(8) соответствует задаче (1). Остановимся на методе решения этой задачи.

Пререпишем (3) и (4) в виде:

2 y - L 1 y = F , F = 2 y + L 2 y + j t t (9)
2y` - L 2 y` = F’ , F = 2 y + L 1 y + j t t Введём обозначения: x i = (i 1 h 1 , i 2 h 2 ) F = F i1,i2 y = y i1,i2 при этом, если в уравнении один из индексов фиксирован, то его не пишем. Тогда (9) можно записать в виде (2), т.е.:
1 y i1-1 - 2 1 + 1 y i1 + 1 y i1+1 = - F i1 h 2 1 h 2 1 t h 2 1 i1 = 1,...,N 1 -1 (10) y =m при i1 = 0,N 1
1 y` i2-1 - 2 1 + 1 y` i2 + 1 y` i2+1 = - F i2 h 2 2 h 2 2 t h 2 2 i2 = 1,...,N 2 -1 (11) y` = m` при i2 = 0,N 2 Пусть задано у=у n . Тогда вычисляем F, затем методом прогонки вдоль строк i 2 =1,...,N 2 -1 решаем задачу (10) и определим y’ во всех узлах сетки w h , после чего вычисляем F и решаем задачу (11) вдоль столбцов i 1 =1,...,N 1 -1, определяя y`=y n+1 . При переходе от слоя n+1 к слою n+2 процедура повторяется, т.е. происходит всё время чередование направлений.

оценка стоимости аренды земельного участка в Туле
оценка стоимости жилой недвижимости в Орле
оценка дачи в Брянске
дипломные работы на заказ, рефераты и авторские курсовые работы

Подобные работы

Моделирование распределения потенциала в МДП-структуре

echo "Способыточного решения задачи (1) выдерживающие обобщения на случай переменных коэффициенто и областей скриволинейной границей, например, метод исключения Гаусса , при сколько-нибудь больших и с

Усилители постоянного тока

echo "Непосредственная связь может быть использована и в обычных усилителях переменного тока с целью уменьшения числа элементов, простоты реализации в интегральном исполнении, стабильности смещения и

Туннелирование в микроэлектронике

echo "Слагаемое "; echo ''; echo " соответствует волне, распространяющейся в области I в направлении, противоположном х. Это волна, отражённая от барьера, В 1 - амплитуда этой волны. Так как вероятнос

Реверсная магнитная фокусирующая система мощного многолучевого клистрона

echo "Консультант по теме _проф. Невский П.В._______________ . .2002 г. Консультант по организационно-экономической части _к.э.н., доц. Батищева И.М.______________________ . .2002 г. Консультант п

Теория электрических цепей

echo "Нелинейный преобразователь строится на основе биполярных, полевых транзисторов или полупроводниковых диодах. Анализ схемы нелинейного преобразователя включает в себя аппроксимацию ВАХ нелинейно

Разработка для контроля и определения типа логических интегральных микросхем методом сигнатурного анализа

echo "Существуют некоторые методы маркировки радиодеталей, отличающиеся от стандартных (к примеру, в случае, когда их выпуск и сборка готовых изделий производится на одном и том же заводе; при этом ча

Устойство измерения отношения двух напряжений

echo "Приборы В8-6 и В8-7 по своему принципу действия обеспечивают последовательное измерение отношения. Т.е. на один и тот же вход подается сначала больший сигнал, измерительный канал калибруется, а

Обслуживание автотранспорта

echo "Выполнение этих работ требует больших трудовых затрат и привлечение большого числа квалифицированных рабочих. В связи с этим требуется значительно повышать производительность труда при проведени