Метод конечных разностей или метод сеток. Решение бигармонического уравнения методом Зейделя

Поэтому эти задачи решают в основном приближённо. Одним из наиболее универсальных и эффективных методов, получивших в настоящее время широкое распространение для приближённого решения уравнений математической физики, является метод конечных разностей или метод сеток. Суть метода состоит в следующем.

Область непрерывного изменения аргументов, заменяется дискретным множеством точек (узлов), которое называется сеткой или решёткой.

Вместо функции непрерывного аргумента рассматриваются функции дискретного аргумента, определённые в узлах сетки и называемые сеточными функциями.

Производные, входящие в дифференциальное уравнение и граничные условия, заменяются разностными производными, при этом краевая задача для дифференциального уравнения заменяется системой линейных или нелинейных алгебраических уравнений (сеточных или разностных уравнений). Такие системы часто называют разностными схемами. И эти схемы решаются относительно неизвестной сеточной функции. Далее мы будем рассматривать применение итерационного метода Зейделя для вычисления неизвестной сеточной функции в краевой задаче с неоднородным бигармоническим уравнением. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Пусть у нас есть бигармоническое уравнение : 2 U = f Заданное на области G={ (x,y) : 0 U = 0 Y x=0 b Uxxx = 0 x=0 G Ux = 0 x=a Uxxx = 0 0 a X x=a U = 0 U = 0 y=0 y=b Uy = 0 Uxx + Uyy = 0 y=0 y=b y=b Надо решить эту задачу численно. Для решения будем использовать итерационный метод Зейделя для решения сеточных задач. По нашей области G построим равномерные сетки Wx и Wy с шагами hx и hy соответственно . Wx={ x(i)=ihx, i=0,1...N, hxN=a } Wy={ y(j)=jhy, j=0,1...M, hyM=b } Множество узлов Uij=(x(i),y(j)) имеющих координаты на плоскости х(i),y(j) называется сеткой в прямоугольнике G и обозначается :

W={ Uij=(ihx,jhy), i=0,1...N, j=0,1...M, hxN=a, hyM=b }
Сетка W очевидно состоит из точек пересечения прямых x=x(i) и y=y(j). Пусть задана сетка W.Множество всех сеточных функций заданных на W образует векторное пространство с определённом на нём сложениемфункций и умножением функции на число. На пространстве сеточных функций можно определитьразностные или сеточные операторы. 0ператор A преобразующий сеточную функцию U в сеточную функцию f=AU называется разностным или сеточным оператором.

Множество узлов сетки используемое при написании разностного оператора в узле сетки называется шаблоном этого оператора.

Простейшим разностным оператором является оператор дифференцирования сеточной функции, который порождает разностные производные. Пусть W - сетка с шагом h введённая на R т.е. W={Xi=a+ih, i=0, + 1, + 2...} Тогда разностные производные первого порядка для сеточной функции Yi=Y(Xi) , Xi из W, определяется по формулам : L1Yi = Yi - Yi-1 , L2Yi=L1Yi+1 h и называются соответственно левой и правой производной.

Используется так же центральная производная : L3Yi=Yi+1 - Yi-1 = (L1+L2)Yi 2h 2 Разностные операторы A1, A2, A3 имеют шаблоны состоящие 2х точек и используются при апроксимации первой производной Lu=u’ . Разностные производные n-ого порядка определяются как сеточные функции получаемые путём вычисления первой разностной производной от функции, являющейся разностной производной n-1 порядка, например : Yxxi=Yxi+1 - Yxi = Yi-1-2Yi+Yi+1 2 h h Yxxi= Yxi+1-Yxi-1 = Yi-2 - 2Yi+Yi+ 2 2 2h 4h которые используются при апроксимации второй производной.

Соответствующие разностные операторы имеют 3х точечный шаблон.

Анологично не представляет труда определить разностные производные от сеточных функций нескольких переменных.

Аппроксомируем нашу задачу с помощью разностных производных. И применим к получившейся сеточной задаче метод Зейделя. МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ Одним из способов решения сеточных уравнений является итерационный метод Зейделя. Пусть нам дана система линейных уравнений : AU = f или в развёрнутом виде : M aijUj = fi , i=1,2...M i=1 Итерационный метод Зейделя в предположении что диагональные элементы матрицы А=(aij) отличны от нуля (aii<>0) записывается в следующем виде : i (k+1) M (k) aijYj + aijYj = fi , i=1,2...M j=1 j=i+1 (k) где Yj - jая компонента итерационного приближения номера k. В качестве начального приближения выбирается произвольный вектор.

Определение (k+1)-ой итерации начинается с i=1 (k+1) M (k) a11Y1 = - a1jYj +f1 j=2 (k+1) Так как a11<>0 то отсюда найдём Y1. И для i=2 получим : (k+1) (k+1) M (k) a22Y2 = - a21Y1 - a2jYj + f2 j=3 (k+1) (k+1) (k+1) (k+1) Пусть уже найдены Y1 , Y2 ... Yi-1 . Тогда Yi находится из уравнения : (k+1) i-1 (k+1) M (k) aiiYi = - aijYj - aijYj + fi (*) j=1 j=i+1 Из формулы (*) видно , что алгоритм метода Зейделя черезвычайно прост.

Найденное по формуле (*) значение Yi размещается на месте Yi. Оценим число арифметических действий, которое требуется для реализации одного итерационного шага. Если все aij не равны нулю, то вычисления по формуле (*) требуют M-1 операций умножения и одного деления.

Поэтому реализация 2 одного шага осуществляется за 2M - M арифметических действий. Если отлично от нуля лишь m элементов, а именно эта ситуация имеет место для сеточных эллиптических уравнений, то на реализацию итерационного шага потребуется 2Mm-M действий т.е. число действий пропорционально числу неизвестных M. Запишем теперь метод Зейделя в матричной форме. Для этого представим матрицу A в виде суммы диагональной, нижней треугольной и верхней треугольной матриц : A = D + L + U где

0 0 . . . 0 0 a12 a13 . . . a1M a21 0 0 0 a23 . . . a2M a31 a32 0 0 . L = . U= . . . . aM-1M aM1 aM2 . . . aMM-1 0 0 0 И матрица D - диагональная. (k) (k) (k) Обозначим через Yk = ( Y1 ,Y2 ... YM ) вектор k-ого итерационного шага.

Пользуясь этими обозначениями запишем метод Зейделя иначе : ( D + L )Yk+1 + UYk = f , k=0,1... Приведём эту итерационную схему к каноническому виду двухслойных схем : ( D + L )(Yk+1 - Yk) +AYk = f , k=0,1... Мы рассмотрели так называемый точечный или скалярный метод Зейделя, анологично строится блочный или векторный метод Зейделя для случая когда aii - есть квадратные матрицы, вообще говоря, различной размерности, а aij для i<>j - прямоугольные матрицы. В этом случае Yi и fi есть векторы, размерность которых соответствует размерности матрицы aii. ПОСТРОЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ Пусть Yi=Y(i) сеточная функция дискретного аргумента i. Значения сеточной функции Y(i) в свою очередь образуют дискретное множество. На этом множестве можно определять сеточную функцию, приравнивая которую к нулю получаем уравнение относительно сеточной функции Y(i) - сеточное уравнение.

Специальным случаем сеточного уравнения является разностное уравнение.

Сеточное уравнение получается при аппроксимации на сетке интегральных и дифференциальных уравнений. Так дифференциальное уравнение первого порядка : dU = f(x) , x > 0 dx можно заменить разностным уравнением первого порядка : Yi+1 - Yi = f(xi) , xi = ih, i=0,1... h или Yi+1=Yi+hf(x), где h - шаг сетки v={xi=ih, i=0,1,2...}. Искомой функцией является сеточная функция Yi=Y(i). При разностной аппроксимации уравнения второго поряда 2 d U = f(x) 2 dx получим разностное уравнение второго порядка : 2 Yi+1 - 2Yi + Yi+1 = yi , где yi=h f i fi = f(xi) xi = ih Для разностной aппроксимации производных U’, U’’, U’’’ можно пользоваться шаблонами с большим числом узлов. Это приводит к разностным уравнениям более высокого порядка.

Анологично определяется разностное уравнение относительно сеточной функции Uij = U(i,j) двух дискретных аргументов . Например пятиточечная разностная схема “крест” для уравнения Пуассона Uxx + Uyy = f(x,y) на сетке W выглядит следующим образом : Ui-1j - 2Uij+Ui+1j + Uij-1 - 2Uij+Uij+1 = fij 2 2 hx hy где hx - шаг сетки по X hy - шаг сетки по Y Сеточное уравнение общего вида можно записать так: N CijUj = fi i=0,1...N j=0 Оно содержит все значения U0, U1 ... UN сеточной функции. Его можно трактовать как рзностное уравнение порядка N равного числу узлов сетки минус единица. В общем случае под i - можно понимать не только индекс , но и мультииндекс т.е. вектор i = (i1 ... ip) с целочисленными компонентами и тогда : СijUj =fi i W j W где сумирование происходит по всем узлам сетки W. Если коэффициенты Сij не зависят от i, тоуравнение называют уравнением с постоянными коэффициентами.

оценка незавершенного строительства в Белгороде
оценка стоимости азс в Москве
оценка помещения для аренды в Калуге
дипломные работы на заказ, рефераты и авторские курсовые работы

Подобные работы

Метод конечных разностей или метод сеток. Решение бигармонического уравнения методом Зейделя

echo "Поэтому эти задачи решают в основном приближённо. Одним из наиболее универсальных и эффективных методов, получивших в настоящее время широкое распространение для приближённого решения уравнений

Сингулярное разложение в линейной задаче метода наименьших квадратов

echo "Большое количество реальных задач сводится к линейной задаче наименьших квадратов, которую можно сформулировать следующим образом. Пусть даны действительная m n–матрица A ранга k min(m,n) и дейс

Решение уравнений в целых числах

echo "Проблема решения уравнений в целых числах решена до конца только для уравнений второй степени с двумя неизвестными. Отметим, что для уравнений любой степени с одним неизвестным она не представл

Кривые третьего и четвертого порядка

echo "Заметим еще, что полярное уравнение декартова листа имеет вид "; echo ''; echo " (3) Координаты х и у входят в уравнение декартова листа симметрично, откуда следует, что кривая симметрична относ

Методы и приемы решения задач

echo "Полученная новая точка соединяется с вершиной (вершинами) исходного треугольника, в результате чего образуются равные треугольники. Равенство соответствующих элементов этих треугольников помога

Методы решения систем линейных неравенств

echo "Сейчас теория конечных систем линейных неравенств может рассматриваться как ветвь линейной алгебры, выросшая из неё при дополнительном требовании упорядоченности поля коэффициентов. Линейные не