Компонентный и факторный анализ

Оренбург 2001 Содержание Задание……………………………………………………………………………3 Введение……………………………………………………………………….….4 1 Исследование на мультиколлинеарность……………………………..……5 2 Метод главных компонент………………………………………………..….7 2.1 Вычисление главных компонент……………………………………….…7 2.2 Экономическая интерпретация полученных главных компонент…..…12 2.3 Матрица наблюденных значений главных компонент……………...….12 2.4 Классификация объектов…………………………………………………13 2.5 Уравнение регрессии на главные компоненты………………………….13 3 Факторный анализ………………………………...…………………………15 3.1 Преобразование матрицы парных коэффициентов корреляции в редуцированную матрицу, получение матрицы факторных нагрузок и экономическая интерпретация ………………………………………………..…...16 3.2 Графическая классификация объектов по двум общим факторам…….19 3.3 Переход к обобщенным факторам с помощью варимаксного вращения ……………………………………………………………………...19 3.4 Построение функции регрессии на выделенные общие факторы…......21 Список использованной литературы………………………………………...22 Приложения………………………………………………………..………...…23 Задание По имеющимся данным производственно-хозяйственной деятельности предприятий машиностроения: Y 1 – производительность труда; X 5 – удельный вес рабочих в составе ППП; X 6 – удельный вес покупных изделий; X 7 – коэффициент покупных изделий; X 9 – удельный вес потерь от брака; X 17 – непроизводственные расходы. 1. Выявить наличие мультиколлинеарности. 2. Снизить размерность признакового пространства и удалить наличие мультиколлинеарности следующими методами: Метод главных компонент: - для факторных признаков найти оценку матрицы парных коэффициентов корреляции, найти собственные числа и собственные вектора; - на основании матрицы собственных чисел определить вклад главных компонент в суммарную дисперсию признаков, отобрать и указать m (m - построить матрицу факторных нагрузок A и дать экономическую интерпретацию; - по матрице наблюденных значений главных компонент F провести классификацию объектов по первым двум главным компонентам, дать интерпретацию; - используя вектор значений результативного признака Y и матрицу F построить уравнение регрессии. Метод общих факторов: - оценить матрицу парных коэффициентов - преобразовать матрицу в редуцированную матрицу h ; - получить первые три общих фактора и дать экономическую интерпретацию по матрице факторных нагрузок; - на основе матрицы F провести графически классификацию объектов по первым двум общим факторам; - построить функцию регрессии на выделенные общие факторы.

Введение Наличие множества исходных признаков, характеризующих процесс функционирования объектов, заставляет отбирать из них наиболее существенные и изучать меньший набор показателей. Чаще исходные признаки подвергаются некоторому преобразованию, которое обеспечивает минимальную потерю информации. Такое решение может быть обеспечено методами снижения размерности, куда относят факторный и компонентный анализ. Эти методы позволяют учитывать эффект существенной многомерности данных, дают возможность лаконичного или более простого объяснения многомерных структур. Они вскрывают объективно существующие, непосредственно не наблюдаемые закономерности при помощи полученных факторов или главных компонент. Они дают возможность достаточно просто и точно описать наблюдаемые исходные данные, структуру и характер взаимосвязей между ними.

Сжатие информации получается за счет того, что число факторов или главных компонент – новых единиц измерения – используется значительно меньше, чем было исходных признаков. 1. Исследование на мультиколлинеарность объясняющие переменные.

Приведем результаты по исследованию на мультиколлинеарность: 1) Коэффициенты корреляционной матрицы для объясняющих переменных не превышают 0,75, то есть тесная линейная связь между компонентами не подозревается. 2) Найдем определитель матрицы X T X, det(X T X)= 1.425E+6 - мал.

Необходимое условие мультиколлинеарности (плохой обусловленности системы). 3) В численных методах обусловленность системы характеризуется числом обусловленности М Если число обусловленности велико, то система плохо обусловлена (порядка выше 10). Собственные числа матрицы - велико система плохо обусловлена. 4) Анализ корреляционной матрицы позволяет лишь в первом приближении (и относительно поверхностно) судить об отсутствии мультиколлинеарности в наших исходных данных. Более внимательное изучение этого вопроса достигается с помощью расчёта значений коэффициентов детерминации каждой из объясняющих переменных на все остальные. Проверим с уровнем значимость множественных коэффициентов корреляции. Строим статистику: Если Т. к. все то отвергаем нулевую гипотезу, т. е. будем считать, что все генеральные множественные коэффициенты корреляции не равны нулю, т. е. значимы. Для наибольшего значимого множественного коэффициента корреляции получим оценку уравнения регрессии. (0,302) (0,524) (0,0003) (0,079) С учётом значимых коэффициентов получим: Выявили наличие мультиколлениарности, одним из методов ее устранения является метод главных компонент. 2 Метод главных компонент Компонентный анализ относится к многомерным методам снижения размерности. Он содержит один метод – метод главных компонент.

Главные компоненты представляют собой ортогональную систему координат, в которой дисперсии компонент характеризуют их статистические свойства.

Учитывая, что объекты исследования в экономике характеризуются большим, но конечным количеством признаков, влияние которых подвергается воздействию большого количества случайных причин. 2.1 Вычисление главных компонент Первой главной компонентой Z 1 исследуемой системы признаков Х 1 , Х 2 , Х 3 , Х 4 ,…, Х n называется такая центрировано – нормированная линейная комбинация этих признаков, которая среди прочих центрировано – нормированных линейных комбинаций этих признаков, имеет дисперсию наиболее изменчивую. В качестве второй главной компоненты Z 2 мы будем брать такую центрировано – нормированную комбинацию этих признаков, которая: 1. не коррелированна с первой главной компонентой, 2. среди всех возможных комбинаций исходных признаков, которые не не коррелированны с первой главной компонентой, эта комбинация имеет наибольшую дисперсию. K-ой главной компонентой Z k (k=1…m) мы будем называть такую центрировано – нормированную комбинацию признаков, которая: 3. не коррелированна с к-1 предыдущими главными компонентами, 4. среди всех возможных комбинаций исходных признаков, которые не не коррелированны с к-1 предыдущими главными компонентами, эта комбинация имеет наибольшую дисперсию. Введём ортогональную матрицу U и перейдём от переменных Х к переменным Z, причём Вектор выбирается т. о., чтобы дисперсия была максимальной. После получения выбирается т. о., чтобы дисперсия была максимальной при условии, что не коррелированно с и т. д. Так как признаки измерены в несопоставимых величинах, то удобнее будет перейти к центрированно-нормированным величинам.

Матрицу исходных центрированно-нормированных значений признаков найдем из соотношения: , где несмещенная, состоятельная и эффективная оценка математического ожидания, Матрица наблюденных значений исходных признаков приведена в Приложении.

Центрирование и нормирование произведено с помощью программы'Stadia'. Так как признаки центрированы и нормированы, то оценку корреляционной матрицы можно произвести по формуле: Перед тем как проводить компонентный анализ, проведем анализ независимости исходных признаков.

Проверка значимости матрицы парных корреляций с помощью критерия Уилкса.

Выдвигаем гипотезу: Н 0 : незначима Н 1 : значима Строим статистику с степенями свободы. =125,7; (0,05;3,3) = 7,8 т.к , то гипотеза Н 0 отвергается и матрица является значимой, следовательно, имеет смысл проводить компонентный анализ.

Проверим гипотезу о диагональности ковариационной матрицы Выдвигаем гипотезу: Н 0 : соv Н 1 : соv Строим статистику с степенями свободы. то гипотеза Н 0 отвергается и имеет смысл проводить компонентный анализ. Для построения матрицы факторных нагрузок необходимо найти собственные числа матрицы Используем для этой операции функцию eigenvals системы MathCAD, которая возвращает собственные числа матрицы: Т.к. исходные данные представляют собой выборку из генеральной совокупности, то мы получили не собственные числа и собственные вектора матрицы, а их оценки. Нас будет интересовать на сколько “хорошо” со статистической точки зрения выборочные характеристики описывают соответствующие параметры для генеральной совокупности.

Доверительный интервал для i-го собственного числа ищется по формуле: Доверительные интервалы для собственных чисел в итоге принимают вид: Оценка значения нескольких собственных чисел попадает в доверительный интервал других собственных чисел.

Необходимо проверить гипотезу о кратности собственных чисел.

Проверка кратности производится с помощью статистики , где r-количество кратных корней.

Данная статистика в случае справедливости с числом степеней свободы Так как отвергается, то есть собственные числа и не кратны. Далее, : Так как отвергается, то есть собственные числа и не кратны. : Так как отвергается, то есть собственные числа и не кратны.

Необходимо выделить главные компоненты на уровне информативности 0,85. Мера информативности показывает какую часть или какую долю дисперсии исходных признаков составляют k-первых главных компонент. Мерой информативности будем называть величину: I 1 ==0,458 I 2 = I 3 = На заданном уровне информативности выделено три главных компоненты.

Запишем матрицу Для получения нормализованного вектора перехода от исходных признаков к главным компонентам необходимо решить систему уравнений: Для решения данной задачи воспользуемся функцией eigenvec системы MathCAD, которая возвращает нормированный вектор для соответствующего собственного числа. В нашем случае первых четырех главных компонент достаточно для достижения заданного уровня информативности, поэтому матрица U (матрица перехода от исходного базиса к базису из собственных векторов) Строим матрицу U, столбцами которой являются собственные вектора: U= Матрица весовых коэффициентов: А= Коэффициенты матрицы А являются коэффициентами корреляции между центрировано – нормированными исходными признаками и ненормированными главными компонентами, и показывают наличие, силу и направление линейной связи между соответствующими исходными признаками и соответствующими главными компонентами. 2.2 Экономическая интерпретация полученных главных компонент Коэффициент матрицы А представляют собой коэффициенты корреляции между i-ой главной компонентой и j-ым исходным признаком. Так как первая главная компонента зависит главным образом от первого (X 5 – удельный вес рабочих в составе ППП) и третьего (X 7 – коэффициент сменности оборудования) исходного признака, следовательно ее можно обозначить как «Эффективность основного производства». Вторая главная компонента тесно взаимосвязана со вторым (X 6 – удельный вес покупных изделий) и четвертым (X 9 – удельный вес потерь от брака) исходными признаками, ее можно обозначить как «Удельный вес затрат не приносящих прибыль». Третья главная компонента взаимосвязана с четвертым исходным признаком, поэтому ее обозначим «Удельный вес потерь от брака». 2.3 Матрица наблюденных значений главных компонент. Мы получили ненормированные главные компоненты.

Проведя нормирование полученных центрированных дисперсия должна равняться 1, на среднеквадратическое отклонение Обозначим - это матрица весовых коэффициентов, с помощью которой устанавливается связь между нормированными исходными признаками и нормированными главными компонентами.

Модель метода главных компонент: где I-той стандартизированной переменной по j-ому объекту наблюдения; m-тая главная компонента по j-ому объекту наблюдения; m-той главной компоненты и I-той переменной. Эту матрицу будем строить, исходя из соотношения где - транспонированная матрица факторных нагрузок; Хматрица наблюденных значений исходных признаков.

Данная формула хороша тем, что она верна и в том случае, если матрица А не квадратная (т.е. выделено m «Наблюденные» значения главных компонент приведены в Приложениях. 2.4 Классификация объектов.

Проведем классификацию объектов по первым двум главным компонентам. Рис.1: Объекты в пространстве главных компонент. На рис.1 видно, что первая группа характеризуется положительными значениями первой главной компоненты, а вторая группа характеризуется отрицательными значениями первой главной компоненты. При этом значения второй главной компоненты схожи у обеих групп. 2.5 Уравнение регрессии на главные компоненты.

Построим уравнение регрессии на выделенные главные компоненты методом пошаговой регрессии, который предполагает, что на каждом шаге мы будем включать в уравнение регрессии тот признак, который будет вызывать наибольшее приращение коэффициента детерминации.

Процесс будет остановлен, когда величина достигнет своего максимума. В итоге уравнение регрессии примет вид: Подробный анализ, выполненный с помощью программы “Stadia”, приведен в Приложениях. 3.Метод главных факторов Мы ставим перед собой задачу снижения размерности признакового пространства. С самого начала будем исходить из того, что мы n признаков попытаемся объяснить с помощью меньшего количества m-латентных признаков - общих факторов, где m Конечная цель статистического исследования, проводимого с привлечением аппарата факторного анализа, как правило, состоит в выявлении и интерпретации латентных общих факторов с одновременным стремлением минимизировать как их число, так и степень зависимости от своих специфических остаточных случайных компонент Итак, в нашем распоряжении последовательность многомерных наблюдений Х. Предполагаем, что каждый признак является результатом воздействия m гипотетических общих и одного характерного факторов: - весовые коэффициенты; - общие факторы, которые подлежат определению; - характерный фактор для i-ого исходного признака; - весовой коэффициент при i-ом характерном факторе.

Представим выражение (1) в матричной форме. Введём обозначения: Сумма матриц даёт: Представим матрицы индивидуальных значений общих и характерных факторов.

Иногда для удобства их представляют в одной матрице: Модель (1) можно записать в матричной форме: 3.1 Преобразование матрицы парных коэффициентов корреляции в редуцированную матрицу.

Запишем корреляционную матрицу: Следующим шагом будет – построение редуцированной матрицы корреляции с общностями на главной диагонали.

Общность показывает какую часть, какую долю составляет относительно дисперсии каждого из m общих факторов в дисперсии I - го исходного признака.

Существуют следующие методы нахождения общности: a) наибольшего элемента метод по строке Суть метода заключается в том, что в строке матрицы h h h h h b) h h h h h с) метод триад В j – ом столбце или строке отыскивают два наибольших значения коэффициентов корреляции и h h h h d) метод первого центроидного фактора h h h h h Запишем матрицу h h h h h Построим матрицу Rh – редуцированную корреляционная матрица. Для получения первого вектора коэффициентов первого главного фактора необходимо найти наибольшее собственное число матрицы и по нему построить соответствующий собственный вектор, затем нормировать его и умножить все компоненты этого вектора на ( для того, чтобы длина этого вектора была и совпадают, начиная со второго, а это означает, что достаточно найти собственные числа матрицы Получим следующие собственные числа: 1 =1.658 2 =0.21 3 =0.069 4 =-0.105 =-0.542 Процесс выделения главных факторов прекращают как только сумма собственных чисел соответствующих выделенным главным факторам превысят след матрицы R h . В нашем случае при выделении первых трех главных факторов Положительное, максимальное собственное число 1 =1,568, построим собственный вектор соответствующий данному собственному числу: = Найдем: 1 = Рассмотрим второе положительное максимальное собственное число и третье, а также соответственные собственные собственные вектора 2 = 2 =0,21 3 ==0,069 Матрица факторного отображения: Произведем экономическую интерпретацию полученных общих факторов на основании матрицы факторных нагрузок А. Первый главный фактор имеет тесную взаимосвязь с первым (X 5 – удельный вес рабочих в составе ППП) и третьего (X 7 – коэффициент сменности оборудования) исходного признака, следовательно его можно обозначить как «Эффективность основного производства». Второй общий фактор наиболее тесную взаимосвязь имеет со вторым исходным признаком, обозначим его как «Удельный вес покупных изделий». Третий главный фактор имеет очень низкую взаимосвязь со всеми исходными признаками 3.2 Графическая классификация предприятий по двум общим факторам Чтобы графически произвести классификацию объектов, необходимо найти наблюденные значения первых двух общих факторов. Это можно сделать по формуле: - транспонированная матрица факторных нагрузок; - диагональная матрица, на главной диагонали которой стоят харак терности соответствующих общих факторов; - матрица центрированно-нормированных значений исходных признаков.

Матрица наблюденных значений общих факторов приведена в Приложениях.

Отобразим объекты наблюдения в пространстве первых двух общих факторов. 3.3 Переход к обобщенным факторам с помощью варимаксного вращения В факторном анализе при решении практических задач широко применяется ортогональное вращение.

Конечной целью факторного анализа является получение содержательно интерпретируемых факторов, которые воспроизводили бы выборочную корреляционную матрицу между переменными.

Например, в методе главных факторов это достигается путем вращения.

Поскольку из множества положений системы координат надо выбрать одну, нужен критерий, который давал бы возможность судить о том, что мы близко подошли к своей цели. Таких критериев предложено много.

Остановимся на наиболее часто используемом методе варимаксного вращения. Метод Варимакс рассчитывает V j критерий качества структуры каждого фактора: При помощи метода «варимакс» достигают максимального упрощения в описании столбцов матрицы факторного отображения.

Возможно раздельноеулучшение структуры факторов.

Наилучшим будет максимальное значение критерия. Если после очередного вращения V j растет – переходим к вращению.

Рассчитаем V j для имеющейся матрицы А:V 1 =0.307, V 2 =0.168 Рис.3: Классификация признаков. Наша цель не только снизить размерность признакового пространства, но и предать выделенным факторам какой-то экономический смысл. Мы можем перейти с помощью вращения от факторов f1 и f2 к факторам f1 и f2 с помощью соотношения В=Т*А. Исходя из геометрических соображений, повернем систему координат по часовой стрелки на угол равный 15 Т= Известно, что sin15cos15 * Рассчитаем V j для матрицы В , полученной после вращения: V 1 =0,240, V j =0,156. Значение V j не возросло ни по одному из факторов.

Попытки производить вращения на другие углы не приводят к возрастанию значения V j следовательно нет необходимости во вращении. 3.4 Построение функции регрессии на выделенные обобщенные факторы Используя данные о «наблюденных» значениях общих факторов, построим функцию регрессии на выделенные обобщенные факторы с помощью программы «Stadia».Получим уравнение регрессии следующего вида для i-го объекта наблюдения: Подробное описание уравнения регрессии дано в Приложениях Список использованных источников 1 Дубров А.М., Мхитарян В.С., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы: Учебник. – М.: Финансы и статистика,1998.- 352с. 2 Сошникова Л.А., Тамашевич В.Н., Уебе Г., Шефер М. Многомерный статистический анализ в экономике: Учебное пособие для вузовМ.:ЮНИТИ-ДАНА, 1999.-598 с.

Приложение 1 Наблюденные значения исходных признаков

Y1 X5 X6 X7 X9 X17
9,26 0,78 0,4 1,37 0,23 17,72
9,38 0,75 0,26 1,49 0,39 18,39
12,11 0,68 0,4 1,44 0,43 26,46
10,81 0,7 0,5 1,42 0,18 22,37
9,35 0,62 0,4 1,35 0,15 28,13
9,87 0,76 0,19 1,39 0,34 17,55
9,17 0,73 0,25 1,16 0,38 21,92
9,12 0,71 0,44 1,27 0,09 19,52
5,88 0,69 0,17 1,16 0,14 23,99
6,3 0,73 0,39 1,25 0,21 21,76
6,22 0,68 0,33 1,13 0,42 25,68
5,49 0,74 0,25 1,1 0,05 18,13
6,5 0,66 0,32 1,15 0,29 25,74
6,61 0,72 0,02 1,23 0,48 21,21
4,32 0,68 0,06 1,39 0,41 22,97
7,37 0,77 0,15 1,38 0,62 16,38
7,02 0,78 0,08 1,35 0,56 13,21
8,25 0,78 0,2 1,42 1,76 14,48
8,15 0,81 0,2 1,37 1,31 13,38
8,72 0,79 0,3 1,41 0,45 13,69
6,64 0,77 0,24 1,35 0,5 16,66
8,1 0,78 0,1 1,48 0,77 15,06
5,52 0,72 0,11 1,24 1,2 20,09
9,37 0,79 0,47 1,4 0,21 15,98
13,17 0,77 0,53 1,45 0,25 18,27
6,67 0,8 0,34 1,4 0,15 14,42
5,68 0,71 0,2 1,28 0,66 22,76
5,22 0,79 0,24 1,33 0,74 15,41
10,02 0,76 0,54 1,22 0,32 19,35
8,16 0,78 0,4 1,28 0,89 16,83
3,78 0,62 0,2 1,47 0,23 30,53
6,48 0,75 0,64 1,27 0,32 17,98
10,44 0,71 0,42 1,51 0,54 22,09
7,65 0,74 0,27 1,46 0,75 18,29
8,77 0,65 0,37 1,27 0,16 26,05
7 0,66 0,38 1,43 0,24 26,2
11,06 0,84 0,35 1,5 0,59 17,26
9,02 0,74 0,42 1,35 0,56 18,83
13,28 0,75 0,32 1,41 0,63 19,7
9,27 0,75 0,33 1,47 1,1 16,87
6,7 0,79 0,29 1,35 0,39 14,63
6,69 0,72 0,3 1,4 0,73 22,17
9,42 0,7 0,56 1,2 0,28 22,62
7,24 0,66 0,42 1,15 0,1 26,44
5,39 0,69 0,26 1,09 0,68 22,26
5,61 0,71 0,16 1,26 0,87 19,13
5,59 0,73 0,45 1,36 0,49 18,28
6,57 0,65 0,31 1,15 0,16 28,23
6,54 0,82 0,08 1,87 0,85 12,39
4,23 0,8 0,68 1,17 0,13 11,64
5,22 0,83 0,03 1,61 0,49 8,62
18 0,7 0,02 1,34 0,09 20,1
11,03 0,74 0,22 1,22 0,79 19,41
f1 f2 f3
1 0.465 0.513 -0.722
2 0.521 -0.576 -0.18
3 -0.918 -0.263 -0.119
4 -0.53 0.434 -0.672
5 -1.703 -0.315 0.16
6 0.527 -0.593 0.05
7 -0.574 0.059 0.243
8 -0.455 0.651 -0.508
9 -1.005 -0.546 0.676
10 -0.495 0.48 -0.315
11 -1.401 0.233 0.292
12 -0.293 0.333 0.082
13 -1.516 0.049 0.366
14 -0.277 -1.222 0.996
15 -0.456 -1.647 0.942
16 0.722 -0.662 0.164
17 1.067 -0.793 0.279
18 1.029 -0.334 0.062
19 1.246 -0.106 -0.118
20 1.05 0.109 -0.534
21 0.569 -0.175 -0.127
22 1.149 -1.072 0.215
23 -0.212 -0.722 0.771
24 0.698 0.853 -1.066
25 0.399 0.874 -1.153
26 1.007 0.311 -0.723
27 -0.523 -0.562 0.473
28 0.797 6.03E-3 -0.184
29 -0.225 1.458 -0.957
30 0.382 0.833 -0.584
31 -1.525 -1.642 0.833
32 -0.161 1.809 -1.328
33 -0.185 -0.104 -0.45
34 0.395 -0.45 -0.103
35 -1.426 -0.081 0.145
36 -1.057 -0.412 -0.012
37 1.263 0.194 -0.811
38 0.016 0.516 -0.546
39 0.211 -0.1 -0.251
40 0.576 -0.082 -0.332
41 1.703 3.644 5.731
42 -0.235 -0.339 0.019
43 -1.023 1.293 -0.705
44 -1.656 0.487 0.022
45 -1.047 0.164 0.457
46 -0.211 -0.573 0.546
47 -0.017 0.608 -0.645
48 -1.804 -0.119 0.487
49 2.464 -1.953 -0.182
50 0.543 2.607 -1.793
51 2.391 -1.4 -0.05
52 -0.127 -1.581 0.901
53 -0.131 -0.094 0.26
Приложение 2 Главные компоненты Приложение 3 Построение уравнения регрессии на главные компоненты. ПОШАГОВАЯ РЕГРЕССИЯ. Файл: гл.комп.std Пропущн=2 2 Переменная Среднее Ст.отклон. f1 3,77E-5 1 f2 5,66E-7 1 f3 3,77E-5 1 Y 7,97 2,61 Корреляционная матрица f1 f2 f3 Y f2 0 f3 -0,001 0 Y 0,044 0,009 -0,167 Критичeское значение=0,57 Число значимых коэффициентов=0 (0%) *** Метод включения. Шаг No.1, введена переменная:f3 Коэфф. a0 a1 Значение 7,97 -0,437 Ст.ошиб. 0,357 0,36 Значим. 0 0,229 Источник Сум.квадр. Степ.св Средн.квадр.

оценка объектов нематериальных активов в Орле
оценка авторских прав цена в Брянске
оценка авто для наследства в Смоленске
дипломные работы на заказ, рефераты и авторские курсовые работы

Подобные работы

Астрология и причины ее популярности

echo "Рождением астрологического взгляда на мир можно считать тот момент, когда человек обратил внимание на цикличность природного круговорота и повторяемость жизненных явлений. Первоначальный примит

Статистическое изучение инвестиционного процесса

echo "Совокупность долговременных затрат финансовых, трудовых и материальных ресурсов с целью увеличения накоплений и получения прибыли называется инвестициями. Инвестиционная деятельность изучается

Компонентный и факторный анализ

echo "Оренбург 2001 Содержание Задание……………………………………………………………………………3 Введение……………………………………………………………………….….4 1 Исследование на мультиколлинеарность……………………………..……5 2 Метод главных компонент……………………………

Русский язык. Пунктуация

echo "Однако структура предложения обусловлена смыслом высказывания. Структурное членение речи в конечном счете отражает смысловое, логическое (принцип смысловой, или логической). В некоторый случаях

Оптимизация размещения материалов на складе

echo "Современный крупный склад — это сложное техническое сооружение, которое состоит из многочисленных взаимосвязанных элементов, имеет определенную структуру и выполняет ряд функций по преобразовани

Методы молекулярной спектрометрии в анализе объектов окружающей среды

echo "Поскребышева Т.В. г. Донецк 1998 год КРАТКИЙ ОБЗОР РЕФЕРАТА: Молекулярная спектрометрия в анализе объектов окружающей среды, сущность метода, краткая характеристика методов молекулярной спектро

Стандартизация

echo "Указанный фонд представляет четырёхуровневую систему. I. II. III. IV. Техническое законодательство являются правовой основой ГСС. Оно представляет совокупность законов РФ, подзаконных актов по с

Востановление участков городской канализации с помощью пластиковых труб FleksoRen

echo "Задание для итоговой работы по специальности: сантехник, электрогазосварщик учащемуся Belov Jurа № группы PSK- 31 1. Тема работы_______________________________ __________ 2. Исходные данные_____